Grundlagen der Mathematik

 Teilbarkeit

Aufgabe 1

Untersuchen Sie die folgenden Zahlen darauf, ob sie Primzahlen sind. Bestimmen Sie andernfalls deren Primfaktorzerlegung:

a) 15, b) 37, d) 91, e) 192 f) 269 g) 445, h) 1001

a) ...

Teilbarkeitsregeln:

 Eine Zahl a heißt durch 
eine andere Zahl b teilbar, 

wenn bei der Division a:b 

kein Rest bleibt.

 Brain2BrainBiZ

Wie testet man, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist ?

• Für kleinere Zahlen gibt es einige einfache Teilbarkeitsregeln, mit denen man das schnell testen kann:

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 2,4,6,8 oder 0 ist.

• 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 6, 18, 20, 100, 1482, ...

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 23, 333, 14.562, ...

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4 teilbar sind.

• 4, 8, 12, 16,2 0, 24, 40, 80, 120, 1024, 3096, ...

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 5 oder eine 0 ist.

• 5, 10, 20, 80, 100, 155, 895, ...

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist (s.o.).

• 6, 12, 18, 180, 111.024, ...

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.

• 8, 16, 24, 88, 264, 888, 20.448, ...

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

• 9, 18, 27, 81, 27.333, ...

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.

• 10, 20, 30, 100, 1.450, 123.456.780, ...

Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.

•  12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 2244, 23.123.496, ...

Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.

• 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 1005, 121.545, ...

Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.

• 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 396

Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0 und ihre vorletzte Stelle gerade ist.

•  20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 1800, 3.180, 5.789.640, ...

(Quelle: mathepower.com)

 

Mathe by Daniel Jung

 Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von ${\displaystyle n}$ bezeichnet werden. 

• Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie. 

• Sie ist Gegenstand des Fundamentalsatzes der Arithmetik. 

Es ist bisher kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt, um die Primfaktorzerlegung einer beliebigen Zahl zu erhalten.

(Quelle: wiki/Primfaktorzerlegung)

[...]

Geschickte Primfaktorzerlegung

 

bettermarks.com

Primzahlen

Mathe by Daniel Jung

Primfaktorzerlegung

 Mathe by Daniel Jung

Aufgabe 1

Bestimmen Sie jeweils den größten gemeinsamen Teiler (ggt) der gegebenen Zahlen

a) 12, 16 b) 17, 72 c) 33, 99 d) 91, 192 e) 84, 110 f) 84, 135 g) 110, 135 h) 84, 110, 135

 Was ist der ggT zweier Zahlen ?

Der ggT zweier Zahlen ist die größte Zahl, 

durch die beide Zahlen teilbar sind.

 Wie bestimme ich den ggT zweier Zahlen ?

Beispiel: ggT von 1024 und 312 bestimmen.

Dazu gibt es verschiedene Verfahren. 

Das einfachste ist wohl, die Teilermengen der beiden Zahlen zu vergleichen und die größte Zahl herauszusuchen, durch die beide Zahlen teilbar sind.

 

matheaufgaben-schule.de

Vergleichen der Teilermengen.

Die Teilermenge von 1024 lautet: {1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}.

Die Teilermenge von 312 lautet: {1,2,3,4,6,8,12,13,24,26,39,52,78,104,156,312}.

Die größte in beiden Teilermengen vorkommende Zahl ist 8. 

• Also ist 8 der ggT von 1024 und 312. 

Elementarmathematische  Problemfelder

remath.de

Alternativ kann man den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen auch berechnen, indem man die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen vergleicht. 

Der größte gemeinsame Teiler ist dann das Produkt aus all den gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen. 

• Die Primfaktorzerlegung von 1024 lautet: 1024= 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2.

• Die Primfaktorzerlegung von 312 lautet: 312= 2*2*2*3*13.

Die gemeinsamen Primfaktoren sind: 2*2*2.

Also ist 8 der ggT. 

ggT u. kgV

 

willys-mathe-kochbuch.de

Das bekannteste Verfahren (=für große Zahlen) ist der euklidische Algorithmus.

• Dieses Verfahren wird von diesem Skript angewendet:

1024	:	312	=	3	Rest	88.	Also ist ggT (1024,312)= ggT (312,88)
312	:	88	=	3	Rest	48.	Also ist ggT (312,88)= ggT (88,48)
88	:	48	=	1	Rest	40.	Also ist ggT (88,48)= ggT (48,40)
48	:	40	=	1	Rest	8.	Also ist ggT (48,40)= ggT (40,8)
40	:	8	=	5	Rest	0.	Also ist ggT (40,8)= ggT (8,0)

Ergebnis: Der ggT von 1024 und 312 ist 8.

informatik.uni-leipzig.de

 
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(... Orientierung an "Grundlagen der Mathematik",

Vorkurs Mathematik 2016, RWTH-Aachen ...)

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