Differential u. Integral I - 1.Stunde

0.1 Aussagen und Wahrheitswert

Sind A und B Aussagen, so können neuen Aussagen gebildet werden:

A u. B: "A und B"
A o. B: "A oder B"
n.A: "nicht A"
A => B: "aus A folgt B" oder "A impliziert B"

0.2 Quantoren

Ist A eine Menge und A(x) eine für alle Elemente x von A definierte Aussage, dann können folgende Aussagen gebildet werden:

V x E A: A(x) V= für alle x aus A gilt A(x)
3 x E A: A(x) 3= es existiert ein x aus der Menge A

"ein" bedeutet: mindestens ein(s)

Bsp: Alle Hörer, die 66 sind, haben grüne Haare (wahre Aussage)

A = (Hörer, die 66 sind) = Nullmenge, also V x E A: ???

Notizhilfen: (.../bekannt) + (n.m.)

0.3 Negationsregeln

n(A u B) <=> (nA) o (nB)
n(A o B) <=> (nA) u (nB)

A <=> B "A gilt genau dann, wenn B gilt"

A u B w f
w w f
f f f

A o B w f
w w w
f w f

nA
w f
f w

A => B w f
w w f
f w w

A = Dozent hat grüne Haare = f und B = Freie Plätze = f aber A => B = wahr

Wenn A <=> gilt, dann nennen wir A und B äquivalent/gleichwertig

A <=> B w f
w w f
f f w

...irgendwie ist die Implikation nicht so einfach zu verstehen, nach der Vorlesung den Dozenten noch mal gefragt: immer noch nicht so ganz kapiert...wenn A falsch ist, kann ich keine Aussage über B machen ???

n(V x E A: A(x)) <=> 3 x E A: nA(x)
n(3 x E A: A(x)) <=> Vx E A: nA(x)

0.4 Beispiele

1) Jede gerade natürliche Zahl > 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen => wahr oder falsch? => Wahrheitswert -> unbekannte -> offenes Problem

2) Die Aussagen "p ist Primteiler von 6" und "p=2" u. "p=3" sind äquivalent

3) ist Q die Menge der rationalen Zahlen, so ist die Aussage V q E Q 3 r E Q: r + r = q => wahr

4) V q E Q 3 r E Q: r*r = q => falsch (z.B q=2)