Das Milchkannenrätsel

 entnommen aus:

brinkmann-du.de

 Zitat:
 

Bei diesem Rätsel geht es darum, mit Hilfe dreier Gefäße von drei, fünf und acht Litern durch mehrmaliges Umfüllen vier Liter Milch abzumessen.

• Um die Milch von einer Kanne in eine andere zu schütten, muss man den Mauszeiger mit gedrückter Maustaste von einer Kanne zur anderen ziehen. 

 Animation

Induktion

+

Fibonacci

 
home.zonnet.nl/leonardeuler

* * *

Cosmic Voyage: Infinity

 

ZaibirQuild

Here's my key
Philosophy
A freak like me
Just needs infinity

  [Instrumental]

Relax 

Take your time

And take your time
To trust in me
And you will find
Infinity, infinity

 [Instrumental]

The time goes by
So naturally
While you'll receive
Infinity

  [Instrumental]

Here's my key
Philosophy
A freak like me
Just needs infinity

  [Instrumental]

Relax 

Take your time

And take your time
To trust in me
And you will find
Infinity, infinity, 

  [Instrumental]

And take your time
To trust in me
And you will find
The time goes by
So naturally
While you'll receive
Infinity
 

***

Black Jack

der millionen trick

millionenschwer



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***

Mechanik Einführung

Dozent: Prof.Dr.Ing.Karl Nienhaus

Betreuer der Übungen: Dipl.Ing. Mesud Inan

Studentische Hilfskräfte: Julia Badeda, Domenic Boos, Christian Bernert, Bartek Wolff, Daniel Rütter

Drei Vorlesungsteile:
GMK1 - Statik & Dynamik (WS, V3/Ü3)
GMK2 - Fertigkeitslehre und Fertigkeitsgerechtes Gestalten (SS, V2/Ü2)
GMK3 - Maschinenkomponenten (SS, V3/Ü1)

Termine: (Statik = 9) + (Dynamik = 4)

Dienstags: Angewandte Statistik (V/8:15) + Mechanik (V/10-11:30) im Hauptgebäude/Aula2
Mittwochs: Mechanik (Ü/13:15-14:30) im Informatikzentrum/Ahorn 4

Vorgehensweise: mittwochs: eine neue Übung => freitags online => dienstags alle 14 Tage, Fragen bzgl. der Übungen sammeln, vorbereiten und vorstellen

Grafisches Lösungsverfahren: KW 45+46 (Mo, 5.11.07 - Mi, 14.11.07)

Seminar/Praktikum: keine Vorlesung, sondern nur Übungstermine


GMK1-Übungsklausur: Fr, 7.12.07, 16:30 - 17:30, (Karman Auditorium, Fo2)

GMK1-Hauptklausur: Mo, 11.02, 16:00 - 18:00, (Karman Auditorium, Fo1)

Wdh.Klausur: Mo, 31.3.08, 13-15:00, Fo2

Anmeldung: 10-12.Dezember (ZPA => 1.Klausur) am Ende der vorlesungsfreien Zeit

...und dann erzählt Dipl.Ing. Mesud Inan, dass er bald nach Singapur fliegt, um zu heiraten, aber für die Klausurkorrekturen sei er wieder rechtzeitig zurück: Gratulation in Form von sympathischen Beifall von den Rängen...

Literaturempfehlung: Technische Mathematik für Wirtschaftsingenieure (Galebert Raede?), z.Zt.: ISBN-978-3446-40960-6 (3.Auflage) + Umdruck: grafische Verfahren + Ergänzungstrip + Selbstlernfolien als PPP bei L²P

- L²P: Learning Portal der RWTH-Aachen, Sharepoint....Erstsemestler erhalten zu ihren Studentenunterlagen automatisch den Login, höhere Semestler müssen über TIM ein neues Passwort eingeben und sind dann erst freigeschaltet !

Anmeldung zum GMK1 Lernraum ?.....

...und dann kommen erst mal wichtige Anhaltspunkte vom Prof. mit dem Titel:

Das Lernen lernen

Studium ist Vollzeitjob mit deutlich mehr als 40 Stunden pro Woche
Aufwand ca. 65 Std. Veranstaltungen im Semester
Deutlich mehr als 70 Std. Eigenarbeit inkl. WE im Semester
Wichtigkeit der Lernangebote
Vorlesung => gibt Grundverständnis
Selbstlernfolien => Vorlesungsinhalt, ideal zur Vor- und Nachbereitung
Übung => einschließlich Vor- und Nachbereitung, sind ein MUSS zum Bestehen der Klausur
Übungsklausur => Klausurerfahrung sammeln, zumal durch die Neuordung des Diplomstudiengangs zum Bachelor/Master es keine alten Klausuren mehr für die "Entsorger" gibt => Klausurerfahrung sammeln, Klausur wird transparenter, unter Zeitdruck rechnen
Lerngruppen => dringlichst zu empfehlen, Mechanik lässt sich schwerlich alleine lernen
Additionstheorem
Eigene Formelsammlung erstellen: Formeln auf- und umstellen
Mathelernen ist wie eine Kraft- und Ausdauersport
AP=Angriffspunkt
Fs <0: Druckkraft (Kraftspannung)
Fs >0 Zugkraft

...und schön fand ich noch seine Worte --- vergesst wie Vater und Mutter studiert haben...das heutige Studium ist komplett anders aufgebaut, mit ganz anderen Rahmenbedingungen ---

Fazit: toi, toi, toi..und ich bin unendlich dankbar, dass mein Institut der Thermischen Verfahrenstechnik mir die Gleitzeit-HiWi-Arbeitsstunden ermöglicht...ansonsten wäre ich nicht mehr in Aachen...

...heute war cool: habe mit dem Mechatroniker aus Indien an der Karr-Kolonne weitergeareitet...hätte nicht gedacht, in Deutschland auf Englisch zu kommuzieren: "please clamp it here!...oh..no: I got no space...oh really?...o.k. man, let´s do it the other way round ;-)"

Differential u. Integralrechnung I

Themen 1.Semester:
reelle Zahlen
Fkt, Folgen & Reihen
Konvergenz
Trigonometrische Funktionen
Exponentialfunktion /Logarithmus

Themen 2.Semester:
Differentation
Integration
Differentialgleichung

Dr. Timo Hanke (Beginn der Dozententätigkeit April dieses Jahres, 2. Semester), Büro: Sammelgebäude, Templergraben 64, Raum 229 + Hr. Kampfmeyer (?): Übungen + Diskussionen im Karman Fo

Anmeldung für die Übungen im Campus Office bis 23.10, Übungsblätter, Ausgabe Montag + http://www.2.math.rwth-aachen.de:8031/

Vorlesung: Do, 10-11:30, Hauptgebäude, Aula 1

Globalübung: (Di: 9:00 - 09:45, Fo2) + (Mi: 17:35 - 18:20 ) Audimax, Roter Hörsaal, beide Übungen sind inhaltsgleich

Diskussionsstunde: Mo: 8:15 - 9:45, SG 23 ab 23.10 + 14:45 - 17:15 SG 23 ab 29.10

Bestehensgrenze: bei 50% aller Fragen aller Übungsblätter, Laufzeit 1 Woche, Mittwochabends werden die Ergebnisse veröffentlicht, bis Mittwochabends 20h Übungsergebnisse abgeben

Klausuren: Do, 29.11,2007 + Sa, 2.2.2008, für Diplom-Anwärter gibt es am 13.2 (?) noch eine Scheinklausur !

Mathe-Skript von Prof. Mosel: Beispiele + Beweise als pdf-Datei verlinkt, gut für die Vorlesungen, dann braucht man nur noch ergänzen + evtl. korrigieren

Das Buch der Beweise

Martin Aigner, Günther M. Ziegler, mit Zeichnungen von Karl. H.Hofmann, 2. Auflage, Springer Verlag (htttp://springer.de, ISBN 3-540-40185-7

Inhalt:

Zahlentheorie
1. Sechs Beweise für die Unendlichkeit der Primzahlen
2. Das Bertrandsche Postulat (Joseph Bertrand)
3. Binomialkoeffizienten
4. Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat (Pierre de Fermat)
5. Jeder endlicher Schiefkörper ist ein Körper (Ernst Witt)
6. Einige irrationale Zahlen (Charles Hermite)
7. Drei Mal pi²/6

Geometrie
8. Hilberts drittes Problem: Zerlegung von Polyedern (David Hilbert)
9. Geraden in der Ebene und Zerlegung von Graphen (J.J. Sylvester)
10. Wenige Steigungen
11. Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel (Leonhard Euler)
12. Der Starrheitssatz von Cauchy (Augustin Cauchy)
13. Simplexe, die einander berühren
14. Stumpfe Winkel
15. Die Borsuk-Vermutung (Karol Borsuk)

Analysis
16. Mengen, Funtionen und die Kontinuumshypothese (Georg Cantor)
17. Ein Lob der Ungleichungen
18. Ein Satz von Polya über Polynome(George Polya)
19. EinLemma von Littlewood und Offord (John E. Littlewood)
20. Der Kotangens und der Herglotz-Trick (Gustav Herglotz)
21. Das Nadel-Problem von Buffon (Le Comte de Buffon)

Kombinatorik
22. Schubfachprinzip und doppeltes Abzählen
23. Drei berühmte Sätze über endliche Mengen (Emanuel Sperner)
24. Gut genug gemischt
25. Gitterwege und Determinanten
26. Cayleys Formel für die Anzahl der Bäume (Arthur Cayley)
27. Vervollständigen von Lateinischen Quadraten
28. Das Dinitz-Problem
29. Identitäten und Bijektionen

Graphentheorie
30. Ein Fünf-Farben-Satz
31. Die Museumswächter (Victor Klee)
32. Der Satz von Turan (Paul Turan)
33. Kommunikation ohne Fehler (Claude Shannon)
34. Von Freunden und Politikern
35. Die Probalistische Methode

...wie RB schon richtig festgestellt hat, dem Buch fehlt ein wichtiges Kapitel: Grundlagen der Beweisführung...von daher hat dieses an für sich schöne Buch mir nicht wirklich geholfen, die Beweisführung zu verstehen...aber es hat mir zumindestens einen kleinen Einblick in die Beweisführung gegeben, auch wenn ich nach wie vor, mit so manchen Formulierungen nicht zufrieden bin...zum Beispiel wird in einem Beweis im Zusammenhang von unendlichen Mengen das Wort "zählbar" verwendet...in meinem Sprachverständnis ist eine unendliche Menge nicht "zählbar" oder "abzählbar"...mit "zählen" bzw. "abzählen" war aber nur die eindeutige Zuordnung von Zahlen (bijektiv) gemeint...das ist auch oft der Grund, warum Mathematiker schlechte Literaten sind und umgekehrt Literaten oft Schwierigkeiten haben, sich in die Sprache der Mathematiker hineinzuversetzen...ich wünschte, die Mathematiker würden erst mal ihre Sprache erklären, Unterschiede und Gemeinsamkeiten mit der Umgangssprache herausfiltern, so dass man von einem gemeinsamen Sprachverständnis ausgehen kann...es wird viel zu viel Zeit verloren, weil man oft aneinander vorbeiredet, aber im Grunde genommen dasselbe meint !

Zinsenzins (Herleitung)

...langsam geht der Mathevorkurs seinem Ende entgegen...habe spaßershalber noch mal meinen alten Kurs bei Tanja besucht, dort waren nur noch sechs andere Komillitonen...hat trotzdem Spaß gemacht, noch ein bisschen über Ableitungsregeln, Stetigkeit und Definitionslücken unterhalten...zwischendurch auch ein paar Basics wie dei Zinsenzinsrechnung wiederholt:

x = Betrag, p = Prozent, n = Jahre

1. Jahr: (x + p * x)

2. Jahr: (x + p * x) + (x + p * x) * p

= x + px + px + xp²

= x (1 + 2p + p²)

= x (p + 1)²

3. Jahr: = x (p + 1)² + x (p + 1) * p

= x (p +1)² (1 + p)

= x (p +1)³

Zinsenszinsbetrag = x (p +1) hoch n

Beweisführung

Gestern mit RB ein wenig Beweisführung ganz kurz angerissen. Auch heute i.d. Übung ist mir wieder aufgefallen: ich muss diesen Formalismus verinnerlichen - besonders die Platzhalter /Variablen bekommen irgendwie einen anderen Stellenwert als bei normalen Rechenoperationen/aufgaben - "man sucht" für alle "a´s" die Gültigkeit und/oder ein "a" stellvertretend für die Gültigkeit oder den Widerspruch einer Aussage - viele Annahmen, viele Fallunterscheidungen - Rechenvorschriften vereinfachen:

Vorschlag von Gerhard, Schnurri, Christine & Torf:

1. Einführung ersetzt nicht die Übungsgruppen
2. Formaler Aufbau eines Beweises (Vor., Beh., Bew.)
3. Logik (Quantoren, Prädikatenlogik, Aus Falschem alles folgern)
4. Direkter Beweis: a,b aus IQ => ab aus IQ (Mit Gegenbeispiel: 2*2 aus IQ, aber sqrt(2) nicht aus Q)
5. Indirekter Beweis (Durch Widerspruch): sqrt(2) nicht aus IQ (Siehe oben)
6. Beweis durch Kontroposition: 1. A c B => (x aus A => x aus B), 2. a*b irrational => a irrational oder b irrational
7. Äquivalenzen: 1. a,b aus IR: a*b=0 <=> a=0 v b=0, 2. Hinweis auf (a<=>b<=>c) <=> (a=>b=>c=>a)
8. Mengeninklusion, -gleichheit: {x aus IQ: x*x = 4} = {-2,2}

Für's Skript dann noch die Liste mit Symbolen. Induktion überlassen wir den Profs, da braucht man erst mal den richtigen Hintergrund (Die simple Variante gabs ja schon in der Schule).

Quelle: Erstsemestereinführung in die Beweisführung: Uni-Konstanz

Der jetzige Vortragende Prof. oder PD Wagner gefällt mir sehr gut, man merkt ihm an, dass er sich gut vorbereitet und die Vorlesungen lebendig gestalten kann + praktische Tipps und Hinweise zum Besten gibt...auf Anfrage, dass das alles so spielend leicht aussieht. wohl aber harte Vorarbeit bedeutet, meinte er zu mir, dass er natürlich durch die Art und Weise eine gewisse Leichtigkeit vorgaukelt...in Wirklichkeit steht er um 4 Uhr auf und bereitet sich gewissenhaft vor...an manchen mathematischen Problemen arbeitet auch er stundenlang, auch wenn das Ergebis so unscheinbar und unspektakulär aussieht !

Prozentrechnung

Prozentrechnung ist so gesehen eng mit dem Dreisatz verknüpft, was wiederum die Umkehrmultiplikation impliziert...

Prozentsatz/Grundsatz = Prozentwert/Grundwert


Vollständige Antwort: Wenn die Schüler anstatt der bisher 5 jetzt 6 Tage pro Woche zur Schule gehen würden, dann reduziert sich die Schulzeit auf 10.8 Jahre ! Wäre zu begrüßen, denn das 13.Schuljahr war (auch wenn die 13 zu meinen drei Glückszahlen gehört) zäh wie Gummi und nur noch nervig ! Erst die Abi-Klausuren haben dieses Schuljahr spannend gemacht. Ich habe es jetzt noch in den Ohren: wir müssen uns beeilen, der Schulstoff ist bis zum Abi noch groß, wir hinken hinterher usw...viel Lärm um nichts ! Eine sorgfältige und ruhige Aufbereitung des Schulstoffs der vergangenen Jahre, ein methodische Vorgehensweise, um Lücken zu füllen, wäre eine unaufgeregte ungleich effizientere Lösung gewesen !

Satz des Vieta

Beim Ausklammern von Gleichungen kann der Satz von Vieta ganz nützlich sein. Er gilt für ganze Zahlen und vor dem x² darf kein Faktor stehen....ansonsten verwendet man die pq-Formel.

Beispiel:

1/2x² + x -4 = 0 |*2

x² + 2x -8 entspricht (x-2) (x+4)

Schaut man sich den rechten Term und die Zahlen an, so fällt auf:

a) der Vorfaktor 2 kann gebildet werden durch (-2) + (4) = 2

b) der Summand 8 kann gebildet werden durch (-2) * (4) = -8

Binomische Formeln

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b) = a² -2ab + b²

(a-b) (a+b) = a2 - b²

Aussagenlogik

2. Die Folgerung

Sprechweisen:

A folgt aus B
A impliziert B
A ist hinreichend für B
B ist notwendig für A

Beispiel:

Viereck ist ein Rechteck => Diagonalen halbieren sich

Dreieck ist rechtwinkelig => Dreiecik ist nicht gleichseitig

x = 1 => (x-1) (x+2) = 0

Beim Vertauschen der Reihenfolge ist eine Negation notwendig

A => B entspricht: n.B => n.A (Kontraposition)

A => B ungleich: A und n.B (Widerspruch)


Die Äquivalenz (A <=> B)

Sprechweisen:

Aus A folgt B
A gilt genau dann, wenn B gilt
A gilt genau dann und nur dann, wenn B gilt
A ist notwendig und hinreichend für B
A if and only if B entpricht: A iff B

Polynomdivision

Methode und Fragestellung:

a) wie oft passt das x auf der rechten Seite in den Term ( x² - 2x - 15 ) ?

b) den gefundenen Wert mit jedem Summanden des rechten Terms multiplizieren

c) Ergebnis vom linken Term subtrahieren

solange wiederholen bis 0 oder eine Konstante übrigbleibt....am besten, so empfiehlt es Hari, in einem Vierquadranten-Kreuz rechnen, das hier leider nicht so gut darstellbar ist !

( x² - 2x - 15 ) : ( x + 3) = x - 5
------------------------
- (x² + 3x)
-----------
(0 - 5x - 15)
- ( - 5x - 15)
-------------
0 + 0

weiteres Beispiel:

(6x³ + 2x + 1) : ( 2x + 4) = 3x² - 6x + 13 - (51/2x+4)
-------------------------
- ( 6x³ + 12x²)
--------------
(0 - 12x² + 2x)
- ( - 12x² -24x)
-----------------
(0 + 0 + 26x + 1)
- ( 26x + 52)
--------------------
- 51

NR: 6x³ + 2x + 1 = 6x³ + 0*x² + 2x + 1

Vorkenntnisseprüfung

A1: Berechnen Sie 5/6 + 4/21 - 2/7 in vollständig gekürzter Form

A2: Berechnen Sie 0,12 / 0,0003

A3: Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung von 182

A4: Berechnen Sie den Binomialkoeffizienten (50/49)

A5: Seien A=(2,3,4,....,10) sowie P die Menge der Primzahlen und G die Menge der geraden Zahlen. Bestimmen Sie (A () P)\G.

A6: Seien m,n Element von Z und x,y Element von R mit xy ungleich 0. Vereinfachen sie x hoch (m-1)/y hoch (2n) : x hoch (2m-n)/y hoch (n-1)

A7: Seien a,b Element R mit a ungleich b und b ungleich 0. Vereinfachen Sie (b hoch 3 - a hoch 2 b) / (b hoch 3 - 2ab hoch 2 + a hoch 2 b)

A8: Lösen Sie die Gleichung (x+5) (x-9) = 0

A9: Lösen Sie die Gleichung 1/2 x hoch 2 + x - 4 = 0

A10: Besitzt dei Funktion f: R --> [0, unendlich), x--> x hoch 2 - 2x + 1 eine Umkehrfunktion?

A11: Bestimmen Sie sin(3/2 pi).

A12: Berechnen Sie den Mittelwert der Zahlen -3,0,5,6.

A13: In einer Urne befinden sich 3 rote und 7 schwarze Kugeln. Es wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei zwei rote und eine schwarze Kugel zu erhalten ?

A14: Wie lautet die Gleichung der Geraden durch die Punkte (3,5) und (-1,1) ?

A15: Betrachten Sie das rechtsstehende lineare Gleichungssystem. Gibt es reele Zahlen a und b , für die dieses Gleichungssystem a) keine Lösung b) genau eine Lösung c) unendlich viele Lösung hat ? x + 2y = a und 2x + 4y = b a) ja, nein b) ja, nein c) ja, nein

A16: Was beschreibt ((x,y)> (x-2) hoch 2 + (y+1) hoch 2 = 2, x,y Element R) ?

A17: Berechnen Sie (2|1 -1|-2) (2|3).

A18: Wie muss die reele Zahl delta gewählt werden, damit die Vektoren (2,1,1) und (3,-4, delta) aufeinander senkrecht stehen ?

A19: Lösen Sie die Gleichung log x 3 + log x 27 = 2 nach x auf.

A20: Bestimmen Sie den Grenzwert lim (n gegen unendlich) ((100 Wurzel (n+ 2n + 1)) / (3n +1).

A21: Leiten Sie nach x ab: (7x-4) / (ln x).

A22: Bestimmen Sie die Stammfunktion von f: R --> (x+1) ((x hoch 2 + 2)) hoch 2

A23: Berechnen Sie das Integral (3 + e hoch x) (2 + e hoch -x) dx

Umrechnungstabelle

1 l =1dm³
1 t = 1000 kg
60 min = 3600 s
x °C = (x+273,15) K
x °F = 5/9 (x-32) °C
1 ha = 100 a = 1 hm² = 0,01 km² = 10.000 m²

cm² = (0,01m)² = (0,01)² m²
cm³ = (0,01m)³ = (0,01)² m²

Teilbarkeit

Ist die Zahl x teilbar durch y ?

Methode:

Teilbarkeit durch y (Überprüfen der letzten Ziffern von der Zahl x)

2 (letzte Ziffer)

3 (Quersumme durch 3)

4 (sind letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar ?)

5 (letzte Ziffer)

6 (Zahl durch 2 & 3 teilbar)

7 ()

8 (letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar ?)

9 (Quersumme durch 9)

11 (Kombination aus abwechselnder Summe + Subbstraktion gleich null ? Beispiel: 121 = 1 - 2 + 1 = 0 ; 0 ist immer durch alles teilbar, ergo: 121 ist durch 11 teilbar !)

Kapitel II: Mathematische Logik

1. Formeln der Aussagelogik

Ausagevariabeln: A,B,C
Wahrheitswerte: (Konstanten) W, F
Junktoren (Verknüpfer): Negation (n.) (und) (oder)

Formeln aus einer Variabeln: A
Negation: nicht A
Konjunktion: A und B
Disjunktion: A oder B

Wahrheitswerte: w=wahr, t=true, f=falsch, f=false
Wahrheitstafeln
Klammern + Negation binden stärker als => n. wird zuerst ausgeführt

Sprechweisen
Tautologie = allgemeingültig
Widerspruch = Kontradiktion

Rationale Zahlen

3. Anordnung auf R

Trichotomiegesetz
Transivität
Monotonie der Addition
Monotonie der Multiplikation

Ordnungseigenschaften
Folgerung
Multiplikatione einer Ungleichung

4. Der Betrag

Der Betrag eliminiert das Vorzeichen:

sqrt(-2²) = sqrt(4) = 2 = |-2|

aber

sqrt(2²) = sqrt(4) = 2 = |2|